${\boldsymbol {\mu }}$ [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] = RELATIVIDADE GENERALIZADA DE GRACELI.

RGG[ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] G [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] = $({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)$ [fG] [ $V(R)=c_{m}R^{m}$ ] [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] [ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] [ $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$

${\boldsymbol {\mu }}$ [ $G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,$ .] = RELATIVIDADE GENERALIZADA DE GRACELI.

${\mathcal {T}}$

[F G] =FLUXO GRAVITACIONAL

Tensor de curvatura de Ricci

Em geometria diferencial, o tensor de curvatura de Ricci, ou simplesmente tensor de Ricci, é um tensor bivalente, obtido como um traço do tensor de curvatura. Pode ser pensado como um laplaciano do tensor métrico no caso das variedades de Riemann. Nas dimensões 2 e 3, o tensor de curvatura é determinado totalmente pela curvatura de Ricci. Pode-se pensar na curvatura de Ricci em uma variedade de Riemann como um operador no espaço tangente. Se este operador é simplesmente multiplicado por uma constante, então temos variedade de Einstein. A curvatura de Ricci é proporcional ao tensor métrico neste caso. Esse é mais um caso especial de tensor de Riemann, tendo uma contração em alguns índices seus, como o seguinte exemplo:

{R_{ij}=R_{iaj}^{a}=\partial _{b}\Gamma _{ji}^{b}-\partial _{j}\Gamma _{bi}^{b}+\Gamma _{bc}^{b}\Gamma _{ji}^{c}-\Gamma _{jc}^{b}\Gamma _{bi}^{c}}

sendo o símbolo de Christoffel representado por

{\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }={\frac {1}{2}}g^{\rho \lambda }(g_{\alpha \lambda ,\beta }+g_{\lambda \beta ,\alpha }-g_{\beta \alpha ,\lambda })}

Definição[editar | editar código-fonte]

A curvatura de Ricci pode ser explicada em termos da curvatura seccional da seguinte maneira: para um vector unitário v, <R(v), v > é soma das curvaturas seccionais de todos os planos atravessados pelo vector v e um vector de um marco ortonormal que contém v (há n-1 de tais planos). Aqui R(v) é a curvatura de Ricci como um operador linear no plano tangente, e <.,.> é o produto interno. A curvatura de Ricci contém a mesma informação que todas as tais somas sobre todos os vectores unitários. Nas dimensões 2 e 3 este é o mesmo que especificar todas as curvaturas seccionais ou o tensor de curvatura, mas em dimensões mais altas a curvatura de Ricci contém menos informação. Por exemplo, as variedades de Einstein não têm que ter curvatura constante nas dimensões 4 ou maiores.

Aplicações do tensor de curvatura de Ricci[editar | editar código-fonte]

A curvatura de Ricci pode ser utilizada para definir as classes de Chern de uma variedade, que são invariantes topológicos (portanto independentes da escolha da métrica). A curvatura de Ricci também é utilizada no fluxo de Ricci, onde uma métrica é deformada na direção da curvatura de Ricci. Em superfícies, o fluxo produz uma métrica de curvatura de Gauss constante e segue o teorema de uniformização para as superfícies. A curvatura de Ricci desempenha um papel importante em relatividade geral, onde é o termo dominante nas equações de campo de Einstein.

Topologia global e a geometria de curvatura de Ricci positiva[editar | editar código-fonte]

O teorema de Myers estabelece que se a curvatura de Ricci é limitada por baixo em uma variedade completa de Riemann por $\left(n-1\right)k>0\,\!$ , então seu diâmetro é $\leq \pi /{\sqrt {k}}$ , e a variedade tem que ter um grupo fundamental finito. Se o diâmetro é igual a $\pi /{\sqrt {k}}$ , então a variedade é isométrica a uma esfera de curvatura constante k.

A desigualdade de Bishop-Gromov estabelece que se a curvatura de Ricci de uma variedade m-dimensional completa de Riemann é ≥0 então o volume de uma esfera é menor ou igual ao volume de uma esfera de mesmo raio no m-espaço euclideano. Mais ainda, se $v_{p}(R)$ denota o volume da bola com centro p e raio $�$ na variedade e o $V(R)=c_{m}R^{m}$ denota o volume da bola de raio R no m-espaço euclidiano então a função $v_{p}(R)/V(R)$ é não crescente (a última desigualdade pode ser generalizada a uma cota de curvatura arbitrária e é o ponto dominante na prova do teorema de compacidade de Gromov).

O teorema de partição de Cheeger-Gromoll indica isso se uma variedade completa de Riemann com o Ricci ≥ 0 tem uma linha reta (ou seja, uma geodésica minimizante infinita de ambos os lados) então é isométrica a um espaço R x L, onde L é uma variedade de Riemann.

Todos os resultados acima mencionados demonstram que a curvatura de Ricci positiva tem certo significado geométrico, em contrário, a curvatura negativa não é tão restritiva, em particular como foi demonstrado por Joachim Lohkamp, qualquer variedade admite uma métrica de curvatura negativa.

Tensor de Einstein

Em geometria diferencial, o tensor de Einstein (também tensor de traço revertido de Ricci), nomeado em relação a Albert Einstein, é usado para expressar a curvatura de uma variedade de Riemann. Em relatividade geral, o tensor de Einstein aparece nas equações de campo de Einstein para a gravitação descrevendo a curvatura do espaço-tempo.

Definição[editar | editar código-fonte]

O tensor de Einstein $\mathbf {G}$ é um tensor de ordem definido sobre variedades riemannianas. Ele é definido como

\mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,

sendo $\mathbf {R}$ o tensor de Ricci, $\mathbf {g}$ o tensor métrico e $�$ o escalar de curvatura de Ricci. Em notação com índices, o tensor de Einstein tem a forma

G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O tensor de Einstein é simétrico, visto que o tensor de Ricci e o tensor métrico são simétricos,

G_{\mu \nu }=G_{\nu \mu }\,

O tensor de Einstein tem divergência nula, como pode-se demonstrar combinando as equações de campo de Einstein ao fato de que o tensor de energia-momento tem divergência nula

G^{\mu \nu }{}_{;\nu }=0\,.

abril 23, 2023

CARACTERÍSTICA, VAREIDADE E SUPERFÍCIE DE GRACELI [GEOMETRIA, TOPOLOGIA E TOPOGEOMETRIA GRACELI.

$({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)$ [+ FLUXOS VARIÁVEIS / TEMPO].

$\chi (S)=V-A+F\,$ [+ FLUXOS VARIÁVEIS / TEMPO].

geometric,optical illusion,minimal,black and white,minimalist,art,abstract,digital art,perfect loop,minimalism,op art,moire,the blue square

A característica de Euler de uma superfície $S\,$ é dada por $\chi (S)=V-A+F\,$ , onde $V,A\,$ e $F\,$ são respectivamente o número de vértices, arestas e faces de uma triangulação de $S\,$ . Em particular a característica de Euler:[3]

Uma variedade de Riemann é uma generalização do conceito métrico, diferencial e topológico do espaço euclidiano a objetos geométricos que localmente tem a mesma estrutura que o espaço euclidiano mas globalmente podem representar forma "curva". Com efeito, os exemplos mais simples de variedades de Riemann são precisamente superfícies curvas de $\mathbb{R} ^{3}$ e subconjuntos abertos de $\mathbb{R} ^{n}$ .

A estrutura matemática da geometria riemanniana permite estender a subconjuntos curvos ou hipersuperfícies do espaço euclidiano, as noções métricas de comprimento de uma curva, área de uma superfície, (hiper)volume ou ângulo entre duas curvas. Isto é realizado definindo-se em cada ponto um objeto matemático chamado tensor métrico que permite especificar um procedimento para medir distâncias, e portanto definir qualquer outro conceito métrico baseado em distâncias e suas variações.